特征方程

问题

求二阶常系数线性齐次递推数列$fn=a\times f{n-1} + b \times f_{n-2}$的通项公式

结论

先解出特征方程$x^2-a\times x - b = 0$,两根分别是$x_1,x_2$

如果$x_1 != x_2$ 则$f_n=A\times x_1^n+B\times x_2^n$

如果$x_1=x_2$ 则$f_n=(A+B\times n)\times x_1^n$

($A,B$可以通过$f_0,f_1$求出)

应用

斐波那契数列$fn=f{n-1}+f_{n-2}$

求解$x^2-x-1=0$

$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

$f_0=A\times x_1^0+B\times x_2^0=0$

$f_1=A\times x_1^1+B\times x_2^1=1$

$A=\frac{\sqrt{5}}{5}, B=\frac{-\sqrt{5}}{5}$

所以$f_n=\frac{\sqrt{5}}{5} \times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{-\sqrt{5}}{5}\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$

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